Решение обратной задачи аналитической геометрии. Теория R-функций

Навеяно недавним постом о построении различных картинок с помощью кривой Гильберта. Будет немного теории и немного картинок.

Немного теории

Компьютерный век породил теорию R-функций — функций с «логическим зарядом», возникшую на стыке дискретного и непрерывного анализов, использующую аппарат булевой алгебры, который органически присущ и ЭВМ. На основе теории R-функций была решена обратная задача аналитической геометрии, появилась возможность строить в виде элементарной функции уравнение границы сложного объекта, и притом такое уравнение, которое обладало бы необходимыми дифференциальными свойствами. В. Л. Рвачев с помощью конструктивного аппарата теории R-функций разработал единый подход к проблеме построения координатных последовательностей для основных вариационных и проекционных методов. К настоящему времени метод R-функций был применен для решения большого числа задач электродинамики, механики деформируемого твердого тела, теории пластин и оболочек, гидродинамики и магнитной гидродинамики, теплофизики и др.

Определение R-функций и основные системы R-функций

Рассмотрим функции:

Функции первой колонки — это R-функции. Любую непрерывную функцию любого числа аргументов можно отнести к одной из этих колонок. Какой признак отделяет R-функции от не R-функций, представленных во второй колонке?
Человек, не имеющий предварительного знакомства с R-функциями, вряд ли сможет отгадать «тайну R-функций». Между тем, этот признак очень прост: R-функции обладают тем свойством, что задание знаков аргументов однозначно определяет знак R-функции. И в этом их гениальность. Для это свойство очевидно. Для того, чтобы доказать его справедливость для , рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами . Если , то модули можно не писать, и тогда сумма катетов больше гипотенузы: . Если имеют разные знаки, то есть разность катетов, и тогда . Если отрицательны, то тем более . Знаки такие же, как и у , а знак такой же, как у . Это очевидно. Таким образом, для этих функций можно составить таблицу знаков.

-	-	-	-	-	+
-	-	+	+	-	+
-	+	-	+	-	-
-	+	+	-	-	-
+	-	-	+	-	-
+	-	+	-	-	-
+	+	-	-	+	+
+	+	+	+	+	+

Если в этой таблице заменить "–" на «0», а "+" на «1», то получим таблицы трех булевых функций. Например, функции соответствует конъюнкция , функции соответствует булева функция .

Приведенное ранее описательное определение R-функций можно формализовать. Обозначим .

Если назвать булевым знаком величины , то можно дать и такое определение R-функций: функция называется R-функцией, если булевый знак этой функции равен булевой функции булевых знаков аргументов . Любую булеву функцию можно представить через (в конъюнктивной и дизъюнктивной нормальных формах). Этот факт означает, что система является полной системой булевых функций (то есть множество H-реализуемых функций (M(Н)) есть множество всех булевых функций).

Наиболее распространенной и исторически первой является такая система R-функций:

Собственно пример

Пусть даны простые (опорные )области
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
а сложный чертеж определяется логической формулой:
Нетрудно заметить, что этот чертеж является крестообразной областью, изображенной на рисунке, при условии, что .
В результате получаем:

Немного картинок

Аппарат R-функций позволят строить объекты показанные ниже, при этом мы всегда знаем точное (аналитическое) выражение для каждого геометрического объекта, и собственно можем не терять точность на приближенном описании геометрии объекта.

А вот и программка, которая умеет визуализировать и решать задачки с помощью R-функций